ツインクラッチは偶数と奇数ギヤでトランスミッションごと切り替える装置
クラッチというのは、回転力の伝わりを切ったり繋いだりする装置です。マニュアル車の一番左側のペダルを、踏めば切れる、放せば繋がります。
マニュアルだけでなく、ほぼすべてのトランスミッションでクラッチ機構は不可欠なメカニズムです。それはエンジンにアイドリングがあるためで、エンジンは動いているものの車速がゼロ、という状況下ではエンジンの回転を遮断するためにクラッチ機構が必要なわけです。

ツインクラッチというのは、クラッチが2つあるということです。最近、輸入車ではどんどん増えているDCT(ダブル・クラッチ・トランスミッション)のことです。ダブル(=二重)とツイン(=二連)は、似たような意味です。
厳密には違う構造を指す場合もありますが、DOHC(ダブル・オーバー・ヘッド・カムシャフト)をツインカムとも言いますから、ここでは同じということにしておきましょう。
その構造は、2つのトランスミッションを一体化したものです。奇数ギヤと偶数ギヤが別個のトランスミッションに分かれているんです。通常のトランスミッションではギヤを切り換えることで変速しますが、DCTではトランスミッションを丸ごと切り換えることで変速します。
だから2つのクラッチが必要なんです。具体的な変速動作は、奇数ギヤのトランスミッションのクラッチを切りながら、偶数ギヤのトランスミッションのクラッチを繋ぎます。その前にシフトアップなのか、シフトダウンなのかをコンピューターが判断して偶数ギヤの何速なのかを選択しておきます。